Dots-and-Boxes 4x4 Game Analysis

Although the game is tied with best play, the game, at least at first, tends to favor the first player. It's impossible for the first player to make a losing move until his/her third move. The second player can make a losing move at once.

One might think that the second player can force a tie by playing symmetrically. That does not work. Here's a quick demonstration:

       Player A to move                   Player B to move

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2v +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	0^    0^    0^	  0	     2v	   2^	 2^    2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ #-----#  2^ +  2^ +

  0^	0^    0	    0^	  0	     2^	   2^	 0^    2^    2^

  +  0^	+  0  +	 0  +  0^ +	     +	2^ +  0^ +  2  +  2^ +

  0^	0^    0	    0^	  0	     2^	   2^	 2     2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	0^    0^    0^	  0	     2^	   2^	 2^    2^    2v

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2v +



  +  0^	+  2v +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	0^    2v    0^	  0^	     2^	   4^	 4^    4^    2^

  +  0^	+-----+	 2^ +  2v +	     +	4^ +-----#-----#  2^ +

  2v	0^    0v    2^	  0^	     4^	   2^	 4     4     4^

  +  2	+  0  +	 0  +  2  +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	2^    0v    0^	  2v	     2^	   2^	 4     4     4^

  +  2v	+  2^ #-----#  0^ +	     +	2^ +  2^ +-----+  2^ +

  0^	0^    2v    0^	  0^	     2^	   2^	 2^    2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 2v +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +



  +  2v	+  0^ +	 0^ +  2v +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  2v	0^    2^    0^	  2v	     2^	   2^	 4v    2^    2^

  +  2^	+-----+-----+  2^ +	     +	4v #-----+-----+  2^ +
					   |
  2^	2^    0	    2^	  2^	     2^	   |	 4^    4^    4^
					   |
  +  2^	+  0  +	 0  +  2^ +	     +	4  #  4^ +  4^ +  4^ +

  2^	2^    0	    2^	  2^	     2^	   2^	 4^    2^    4^

  +  2^	#-----#-----+  2^ +	     +	4v +-----+-----+  2^ +

  2v	0^    2^    0^	  2v	     2^	   2^	 4v    2^    2^

  +  2v	+  0^ +	 0^ +  2v +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +



  +  0v	+  0v +	 0v +  0v +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  4^ +

  0v	0v    0v    0v	  0v	     2^	   4^	 4^    4^    4^

  +  0v	+-----+-----+  0v +	     +	4^ +-----#-----+  4^ +
	|				   |	 |
  0v	|     2^    0v	  0v	     4^	   |  B	 |     2^    4^
	|				   |	 |
  +  0v	+  2^ +	 2^ #  0v +	     +	4^ +-----#  2^ +  4^ +
		    |				       |
  0v	0v    2^    |	  0v	     4^	   2^	 2^    |     4^
		    |				       |
  +  0v	+-----+-----#  0v +	     +	4^ +-----+-----+  4^ +

  0v	0v    0v    0v	  0v	     4^	   4^	 4^    4^    2^

  +  0v	+  0v +	 0v +  0v +	     +	4^ +  2^ +  2^ +  2^ +

But the first player can do even better if the second player is moving symmetrically:
       Player A to move                   Player B to move

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2v +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	0^    0^    0^	  0^	     2v	   2^	 2^    2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ #-----#  2^ +  2^ +

  0^	0^    0	    0^	  0^	     2^	   2^	 0^    2^    2^

  +  0^	+  0  +	 0  +  0^ +	     +	2^ +  0^ +  2  +  2^ +

  0^	0^    0	    0^	  0^	     2^	   2^	 2     2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	0^    0^    0^	  0^	     2^	   2^	 2^    2^    2v

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2v +



  +  0^	+  2v +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	0^    2v    0^	  0^	     2^	   4^	 4^    4^    2^

  +  0^	+-----+	 2^ +  2v +	     +	4^ +-----#-----#  2^ +

  2v	0^    0v    2^	  0^	     4^	   2^	 4     4     4^

  +  2	+  0  +	 0  +  2  +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	2^    0v    0^	  2v	     2^	   2^	 4     4     4^

  +  2v	+  2^ #-----#  0^ +	     +	2^ +  2^ +-----+  2^ +

  0^	0^    2v    0^	  0^	     2^	   2^	 2^    2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 2v +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +



  +  2v	+  0^ +	 0^ +  2v +	     +	2^ +  4^ #  4^ +  2^ +
						 |
  2v	0^    2^    0^	  2v	     2^	   4^	 |     4^    2^
						 |
  +  2^	+-----+-----+  2^ +	     +	4^ +-----#-----+  4^ +

  2^	2^    0	    2^	  2^	     4^	   4v	 4v    4v    4^

  +  2^	+  0  +	 0  +  2^ +	     +	4^ +  4^ +  4^ +  4^ +

  2^	2^    0	    2^	  2^	     4^	   4v	 4v    4v    4^

  +  2^	#-----#-----+  2^ +	     +	4^ +-----+-----+  4^ +

  2v	0^    2^    0^	  2v	     2^	   4^	 4^    4^    2^

  +  2v	+  0^ +	 0^ +  2v +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +



  +  2^	+  2^ +	 2^ +  2^ +	     +	4^ +  6^ +  4^ +  4^ +
	      |					 |
  2^	2^    |	    2^	  2^	     4^	   6^	 |     4^    4^
	      |					 |
  +  4^	+-----+-----+  4^ +	     #-----#-----+-----+  4^ +

  2^	2^    0v    2^	  2^	     4^	   4^	 4^    4^    4^

  +  2^	+  0  +	 0  +  2^ +	     +	4^ +  4^ +  4^ +  4^ +

  2^	2^    0v    2^	  2^	     4^	   4^	 4^    4^    4^

  +  4^	+-----#-----+  4^ +	     +	4^ +-----+-----+  4^ +
	      |					 |
  2^	2^    |	    2^	  2^	     4^	   4^	 |     6^    4^
	      |					 |
  +  2^	+  2^ #	 2^ +  2^ +	     +	4^ +  4^ +  6^ +  4^ +



  +  0^	+  0^ +	 0v +  2v +	     +	6^ +  6^ +  6^ +  4^ +
	      |					 |
  0^	0^    |	    0v	  2v	     6^	   6^	 |     6^    4^
	      |					 |
  +-----+-----+-----+  0^ +	     +-----+-----+-----+  6^ +

  0v	0v    0v    0v	  0^	     6^	   6^	 4^    4^    6^

  +  4^	+  0  +	 0  +  4^ +	     #-----#  6^ +  6^ +  4^ +

  0^	0v    0v    0v	  0v	     6^	   4^	 4^    4^    4^

  +  0^	+-----+-----#-----#	     +	4^ +-----+-----+-----+
	      |					 |
  2v	0v    |	    0^	  0^	     6^	   6^	 |     6^    6^
	      |					 |
  +  2v	+  0v +	 0^ +  0^ +	     +	6^ +  6^ +  6^ +  6^ +



  +  4^	+  2^ +	 2^ +  2^ +	     +	6^ +  8^ +  6^ +  6^ +
	      |					 |
  4^	2^    |	    2^	  2^	     6^	   8^	 |     6^    6^
	      |					 |
  +-----+-----+-----+  4^ +	     +-----+-----+-----+  6^ #
							     |
  2^	2^   -2v    2^	  4^	     6^	   6^	 6^    6^    |
							     |
  +-----+ -2v +	-2v #-----#	     +-----+  4^ +  6^ +-----#

  4^	2^   -2v    2^	  2^	     6^	   6^	 4^    6^    6^

  +  4^	+-----+-----+-----+	     +	6^ +-----+-----+-----+
	      |					 |
  2^	2^    |	    2^	  4^	     6^	   6^	 |     8^    6^
	      |					 |
  +  2^	+  2^ +	 2^ +  4^ +	     +	6^ +  6^ +  8^ +  6^ +



  +  6^	+  6^ +	 4^ +  6^ +	     #-----#  8^ +  6^ +  6^ +
	      |					 |
  6^	6^    |	    4^	  6^	     8^	   8^	 |     6^    6^
	      |					 |
  +-----+-----+-----+  4^ +	     +-----+-----+-----+  8^ +
			  |				     |
  4^	4^   -4v    4^	  |	     8^	   8^	 6^    8^    |
			  |				     |
  #-----+ -4v +	-4v +-----+	     +-----+  6^ +  6^ +-----+
  |				     |
  |	4^   -4v    4^	  4^	     |	   8^	 6^    8^    8^
  |				     |
  #  4^	+-----+-----+-----+	     +	8^ +-----+-----+-----+
	      |					 |
  6^	4^    |	    6^	  6^	     6^	   6^	 |     8^    6^
	      |					 |
  +  6^	+  4^ +	 6^ +  6^ +	     +	6^ +  6^ +  8^ +  6^ +



  +-----+ -4v +	 4^ +  6^ +	     +-----+ 10^ +  6^ #-----#
	      |					 |
 -4v	4^    |	    4^	  6^	    10^	  10^	 |     6^    6^
	      |					 |
  +-----+-----+-----+  4^ +	     +-----+-----+-----+  8^ +
			  |				     |
  4^	4^   -4v    4^	  |	     8^	   8^	 6^    8^    |
			  |				     |
  +-----+ -4v +	-4v +-----+	     +-----+  6^ +  6^ +-----+
  |				     |
  |	4^   -4v    4^	  4^	     |	   8^	 6^    8^    8^
  |				     |
  +  4^	+-----+-----+-----+	     +	8^ +-----+-----+-----+
	      |					 |
  6^	4^    |	    4^	 -4v	     6^	   6^	 |    10^   10^
	      |					 |
  +  6^	+  4^ +	-4v #-----#	     +	6^ +  6^ + 10^ +-----+



  +-----+ -4v +	 4^ +-----+	     +-----+ 10^ +  8^ +-----#
	      |					 |	     |
 -4v	4^    |	    4^	  6^	    10^	  10^	 |     8^    |
	      |					 |	     |
  +-----+-----+-----+  4^ +	     +-----+-----+-----+  8^ #
			  |				     |
  4^	4^   -4v    4^	  |	     8^	   8^	 6^    8^    |
			  |				     |
  +-----+ -4v +	-4v +-----+	     +-----+  6^ +  6^ +-----+
  |				     |
  |	4^   -4v    4^	  4^	     |	   8^	 6^    8^    8^
  |				     |
  +  4^	+-----+-----+-----+	     +	8^ +-----+-----+-----+
	      |					 |
  6^	4^    |	    4^	 -4v	     6^	   6^	 |    10^   10^
	      |					 |
  #-----#  4^ +	-4v +-----+	     +-----+  6^ + 10^ +-----+



  +-----+ -6v +	-4v +-----+	     +-----+ 10^ + 10^ +-----+
	      |		  |			 |	     |
 -6v	6^    |	   -4v	  |	    10^	  10^	 |    10^    |
	      |		  |			 |	     |
  +-----+-----+-----+ -4v +	     #-----+-----+-----+ 10^ +
			  |	     |	   |		     |
  6^	6^   -8v   -4v	  |	     |	B  |	 8^   10^    |
			  |	     |	   |		     |
  +-----+ -8v +	-8v +-----+	     #-----+  8^ +  6^ +-----+
  |				     |
  |    -4v   -8v    6^	  6^	     |	  10^	 6^    8^    8^
  |				     |
  # -4v	+-----+-----+-----+	     + 10^ +-----+-----+-----+
  |	      |			     |		 |
  |    -4v    |	    6^	 -6v	     |	  10^	 |    10^   10^
  |	      |			     |		 |
  #-----+ -4v +	-6v +-----+	     +-----+ 10^ + 10^ +-----+



  +-----+ -2v +	-2v +-----+	     +-----+  8^ +  8^ +-----+
	      |		  |			 |	     |
 -2v	2^    |	   -2v	  |	     8^	   8^	 |     8^    |
	      |		  |			 |	     |
  +-----+-----+-----+ -2v +	     +-----+-----#-----+  8^ +
  |	|		  |	     |	   |	 |	     |
  |  B	|     8^   -2v	  |	     |	B  |  B	 |     8^    |
  |	|		  |	     |	   |	 |	     |
  +-----+  8^ +	 8^ +-----#	     +-----+-----#  8^ +-----+
  |		    |	  |	     |		       |     |
  |    -2v    8^    |  A  |	     |	   8^	 8^    |  A  |
  |		    |	  |	     |		       |     |
  + -2v	+-----+-----+-----#	     +	8^ +-----+-----+-----+
  |	      |			     |		 |
  |    -2v    |	    2^	 -2v	     |	   8^	 |     8^    8^
  |	      |			     |		 |
  +-----+ -2v +	-2v +-----+	     +-----+  8^ +  8^ +-----+

The following is an opening that Saul Schleimer and Ryan Levin say is commonly used at Yahoo Games' Dots site.
       Player A to move                   Player B to move

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2v +

  0^	0^    0^    0^	  0^	     2^	   2^	 2^    2^    2v

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	0^    0	    0^	  0^	     2^	   2^	 2     2^    2^

  +  0^	+  0  +	 0  +  0^ +	     +	2^ +  0^ +  2  +  2^ +

  0^	0^    0	    0^	  0^	     2^	   2^	 0^    2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ #-----#  2^ +  2^ +

  0^	0^    0^    0^	  0^	     2v	   2^	 2^    2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2v +  2^ +  2^ +  2^ +



  +  0	+  0^ +	 0^ +  0  +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0	0^    0^    0^	  0	     2^	   2^	 2^    2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 0  +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +

  0^	0^    0^    0^	  0^	     2^	   2^	 2^    2^    2^

  +  0v	#-----#	 0v +  0  +	     +	2^ +-----+  0^ +  2^ +

  0^	0     0	    0^	  0^	     4	   2^	 2^    4     2^

  +  0^	+-----+	 0^ +  0^ +	     +	2^ +-----#-----#  2^ +

  0^	0^    0^    0^	  0^	     2^	   2^	 2^    2^    2^

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	2^ +  2^ +  2^ +  2^ +



  +  0v	+  0v +	 0v +  0v +	     +	0^ +  0^ +  0^ +  0^ +

  0v	0^    0^    0^	  0v	     0^	   2^	 0^    2^    0^

  +  0v	+  0  +	 0  +  0v +	     +	2^ +  4^ #  4^ +  2^ +
						 |
  0^	0v    0^    0v	  0^	     2^	   4^	 |     4^    2^
						 |
  +  0v	+-----#-----#  0v +	     +	0^ +-----#-----+  0^ +

  0^   -2v   -2^   -2v	  0^	     2^	   2^	 2^    2^    2^

  +  0^	+-----+-----+  0^ +	     +	2^ +-----+-----+  2^ +

  0^	0^    0	    0^	  0^	     0^	   0^	 0^    0^    0^

  +  0^	+  0^ +	 0^ +  0^ +	     +	0^ +  0^ +  0^ +  0^ +



  +  0v	+  0v +	 0v +  0v +	     +	2^ +  4^ +  4^ +  2^ +

  0v	0^    0^    0^	  0v	     2^	   4^	 2^    4^    2^

  +  0v	+  0^ +	 0^ +  0v +	     +	4^ +  4^ +  6^ +  4^ +
	      |					 |
  0^	0^    |	    0^	  0^	     4^	   4^	 |     6^    4^
	      |					 |
  +  0v	+-----+-----+  0v +	     #	0^ +-----+-----+  2^ +
				     |
  0^   -2v   -2	   -2v	  0^	     |	   2^	 2^    2^    4^
				     |
  +  0^	+-----#-----+  0^ +	     #	4^ +-----+-----+  4^ +
	      |					 |
  0^	0v    |	    0v	  0^	     4^	   6^	 |     4^    4^
	      |					 |
  +  0^	+  0v #	 0v +  0^ +	     +	4^ +  6^ +  4^ +  4^ +



  +  0v	+  0v +	-2  +  0v +

  0v	0^    0v   -2	  0v

  +  0v	+  0^ +	 0^ +  0^ +
	      |
  0^	0^    |	    0^	  0^
	      |
  #-----#-----+-----+  0v +
  |
  |    -2v   -2v   -2v	  0^
  |
  + -2v	+-----+-----+  0^ +
	      |
  0^	0v    |	   -2^	  0^
	      |
  +  0^	+  0v +	-2^ +  0^ +
The opening is sound.

David Wilson / dwilson@cae.wisc.edu